Готлоб Фреге

Всё, чем логика пользуется сегодня, — переменные, кванторы, формальный вывод — придумано одним человеком за одну книжку. Книжку не заметили, вторую его работу опровергли в письме на две страницы, а признание пришло, когда автора уже не было.

Йена

Родился в 1848 году в Висмаре на балтийском побережье: отец держал женскую школу, после его смерти школу вела мать. Учился в Йене и Гёттингене, в 1873-м защитил диссертацию по геометрии, а с 1874 года и до конца работал в Йенском университете — приват-доцентом, потом экстраординарным профессором. Ординарной кафедры ему так и не дали.

Жизнь его была совершенно бессобытийной: лекции, которые слушали единицы, и книги, которых почти не читали. Единственное громкое событие пришло по почте.

Книжка на 88 страниц

«Begriffsschrift» — «Понятийное письмо, язык формул чистого мышления, построенный по образцу арифметического» — вышла в 1879 году. В ней сделано три хода, и каждого хватило бы на репутацию.

Функция и аргумент вместо подлежащего и сказуемого. Аристотель разбирал «Сократ смертен» по грамматике; Фреге предлагает по образцу математики: функция «… смертен», аргумент «Сократ». А раз функция, то аргументов может быть два и больше — и отношения («$x$ больше $y$»), на которых ломалась силлогистика, перестают быть проблемой.

Кванторы. Знак общности, через него и отрицание — существование, и главное: кванторы можно навешивать друг на друга, и порядок меняет смысл. Утверждение «для всякого $\varepsilon$ найдётся $\delta$» впервые становится записываемым — до 1879 года ни одна логика не отличала его от «найдётся $\delta$ для всякого $\varepsilon$», хотя вся теория пределов держится на этой разнице.

Формальный вывод. Конечный список аксиом, одно правило, и требование: доказательство есть цепочка формул, где каждая либо аксиома, либо получена по правилу. Ничего не разрешается додумывать. Это определение доказательства математика использует до сих пор — на нём стоят и теоремы Гёделя, и машины Тьюринга, и современные системы проверки доказательств.

Читали «Begriffsschrift» единицы, и было за что: Фреге записывал формулы двумерной схемой из скобок и черт, набирать которую типографии не умели, а читать не умел никто. Нотацию, которой пользуемся мы, придумали Пеано и Рассел; Фреге придумал то, что она записывает.

Письмо

Дальше он взялся вывести из чистой логики всю арифметику — «Основания арифметики» (1884), затем два тома «Основных законов». Работа шла двадцать лет.

16 июня 1902 года пришло письмо от Бертрана Рассела: пятый закон системы позволяет построить множество всех множеств, не содержащих себя, — и получить противоречие. Второй том был в типографии. Фреге ответил через шесть дней, сразу признав удар, и успел вписать послесловие:

Вряд ли с научным писателем может случиться что-либо худшее, чем когда после завершения труда у него оказывается поколеблено одно из оснований постройки.

Дальше он изложил парадокс аккуратнее, чем это сделал Рассел, и предложил поправку. Поправка не спасла: в 1938 году Лесневский показал, что исправленная система доказывает существование не более чем одного предмета.

Последние годы

Логицизм Фреге бросил. Последние работы возвращаются к геометрии, из арифметики он разуверился. Умер в 1925 году в Бад-Клайнене, почти забытым; дневник его последнего года содержит записи, читать которые тяжело, — крайне правые и антисемитские.

К этому времени «Principia Mathematica» уже вышли, Гильберт строил свою программу на фрегевском понятии вывода, а Витгенштейн, единственный из знаменитых, кто читал Фреге вовремя, называл его своим главным учителем. Полное признание пришло в пятидесятые.