Хрисипп: логика связок

Две логики, а не одна

Про античную логику обычно говорят «АристотельАристотельгреческий философ · 384–322 до н. э.Не был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы.» и ставят точку. Это неверно примерно наполовину: рядом с Ликеем работала Стоя, и там строили логику совсем другого устройства.

Разница видна сразу.

• У Аристотеля разбирается внутренность высказывания: «всякий $S$ есть $P$», термины, классы, объёмы понятий.
• У стоиков высказывание — неделимый кирпич, обозначаемый порядковым числительным («первое», «второе»), а изучаются способы, которыми кирпичи скрепляются: если… то, и, или, не.

Вторая — это в точности то, что сегодня называется исчислением высказываний и с чего начинается любой курс математической логики. Первая — его расширение до предикатов, до кванторов ещё далеко обоим.

Хрисипп из Сол (ок. 279–206 до н. э.), третий схоларх Стои, написал, по каталогу Диогена Лаэртского, 705 книг. До нас не дошло ни одной целиком — стоическую логику восстанавливают по цитатам у противников, прежде всего у Секста Эмпирика. Диоген приводит поговорку: если бы боги пользовались логикой, то не иной, чем логика Хрисиппа.

Пять недоказуемых

Хрисипп выделяет пять схем вывода, которые принимаются без доказательства, — «недоказуемые» (ἀναπόδεικτοι), — и утверждает, что всякий правильный вывод сводится к ним. Вот они на современном языке; «первое» и «второе» — это стоические номера высказываний.

№	Схема	Как это зовут теперь
1	Если $p$, то $q$; $p$; значит, $q$	modus ponens
2	Если $p$, то $q$; не $q$; значит, не $p$	modus tollens
3	Не одновременно $p$ и $q$; $p$; значит, не $q$	отрицание конъюнкции
4	Либо $p$, либо $q$; $p$; значит, не $q$	разделительный, строгое «или»
5	Либо $p$, либо $q$; не $p$; значит, $q$	разделительный силлогизм

Первые два школьник узнает мгновенно: это правило вывода и доказательство от противного. Пятое — то, чем пользуются, решая задачу перебором случаев.

Правил вывода, сводящих сложные выводы к пяти основным, у стоиков было четыре; они назывались темы, и до нас полностью дошли только две. Это, между прочим, первая в истории попытка доказать полноту системы правил: показать, что пяти схем хватает на всё.

Спор о том, что значит «если»

Самое современное у стоиков — разбор условного высказывания. Спорили как минимум четверо, и спор был так известен, что поэт Каллимах съязвил: даже вороны на крышах каркают о том, какие условные высказывания истинны.

Филон Мегарский предложил ответ, который сегодня стоит в каждом учебнике: условное ложно в единственном случае — когда начало истинно, а конец ложен. Во всех остальных истинно.

Это и есть материальная импликация, и это её первое известное определение — за двадцать два века до таблиц истинности. Заодно объясняется странность, на которую жалуется каждый первокурсник: почему «если $2\cdot2=5$, то Луна квадратная» считается истинным. Потому что Филон так определил, а определение оказалось единственным, при котором логика работает как исчисление.

Диодор Крон, учитель Филона (и, по некоторым сведениям, ученик Евбулида), возражал: этого мало, надо требовать, чтобы условное не становилось ложным ни в какой момент времени. Это уже модальная логика, и она тоже дождётся своего часа — в XX веке.

Собака Хрисиппа

Секст Эмпирик передаёт довод стоиков в пользу того, что животные рассуждают. Собака гонится по следу и добегает до развилки в три дороги. Обнюхивает первую — пусто. Обнюхивает вторую — пусто. На третью бросается не нюхая.

Стоики говорили: собака применила пятое недоказуемое, только в расширенном виде — «либо первая, либо вторая, либо третья; не первая; не вторая; значит, третья».

Довод спорный, зато пример пятого правила запоминается навсегда.

Как это пропало и как вернулось

Стоическая логика проиграла — и проиграла обидно. Причин две.

Тексты погибли. Ни одного полного сочинения Хрисиппа не сохранилось: их не переписывали, а средневековая Европа наследовала античность через комментаторов, которые предпочитали Аристотеля.

Комментаторы всё перепутали. Поздние авторы (в том числе такие влиятельные, как Гален и Боэций) читали стоические схемы как разновидность силлогизмов Аристотеля, не понимая, что перед ними логика другого уровня. Различие смазалось, и полторы тысячи лет учили одну логику вместо двух.

Итог: когда Буль в 1847-м строил алгебру высказываний, а Фреге в 1879-м вводил связки, никто из них не знал, что первую половину этой работы сделали в Афинах. Всё пришлось изобретать заново.

Восстановлением занялись только в XX веке: решающая работа — статья Яна Лукасевича 1934 года по истории логики высказываний (того самого Лукасевича из варшавской школы), а полный разбор дал Бенсон Мейтс в книге «Stoic Logic» (1953). Стоиков признали изобретателями исчисления высказываний через двадцать два века после смерти Хрисиппа.

Следующая точка: Ганновер, две тысячи лет спустя — где впервые прозвучит мысль, что рассуждение можно не проверять, а вычислять.