Мадхава из Сангамаграмы

Историю анализа принято начинать с Ньютона и Лейбница. Между тем главный его инструмент — разложение функции в бесконечный ряд — был получен на юго-западе Индии за три столетия до них.

Керала

О самом Мадхаве известно немного. Жил около 1340–1425 годов в Сангамаграме — селении близ нынешнего Иринджалакуды в штате Керала. Ни одна его собственная работа целиком не сохранилась; всё, что мы знаем, дошло в изложении его учеников и последователей, которые аккуратно указывали, что то или иное правило принадлежит «Мадхаве из Сангамаграмы».

Школа эта — керальская школа астрономии и математики — просуществовала два с лишним века: Парамешвара, Нилаканта Сомаяджи, Джьештхадева, автор «Юктибхаши» (около 1530), где приведены и сами результаты, и, что важнее, их обоснования.

Ряды

Главное — ряды.

$$\arctg x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots$$

В Европе это называется рядом Грегори (1671) или Лейбница (1674) — при $x=1$ получается знаменитое $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - \cdots$. Мадхава получил его около 1400 года.

Так же у него есть ряды для синуса и косинуса — то, что мы называем рядами Тейлора для этих функций. И, что для практики важнее, поправочные члены: ряд для $\pi/4$ сходится безобразно медленно (чтобы получить два верных знака, нужны сотни слагаемых), и Мадхава придумал, как оценить остаток и добавить к обрезанному ряду поправку. С ней он получил одиннадцать верных знаков числа $\pi$ — точность, которую Европа догнала только к концу XVI века, и то другими средствами.

Отдельная деталь, из-за которой этот сюжет важен для истории анализа: в «Юктибхаше» ряды не постулируются, а выводятся — через разбиение дуги на малые части, суммирование и предельный переход. То есть присутствует не только результат, но и метод, а метод этот есть в точности то, что потом назовут интегрированием.

Почему это не дошло

Вопрос, который задают всегда: могли ли керальские результаты попасть в Европу? Иезуитские миссионеры были в Керале с середины XVI века, интересовались местной астрономией и отправляли отчёты в Рим. Прямых свидетельств передачи нет, и большинство историков считает европейское открытие независимым.

Более простой ответ, вероятно, ближе к истине: керальская математика была частью астрономии и излагалась на санскрите стихами, внутри традиции, не искавшей внешнего читателя. Она не была скрыта — её просто некому было прочесть.

Что осталось

Имя Мадхавы носят ряд Мадхавы — Лейбница, ряд Мадхавы — Ньютона и оценка Мадхавы для остатка. Керальскую школу заново открыли европейские исследователи в XIX веке, а по-настоящему оценили только в XX.

Хронологическая правда, которую стоит проговорить: между Ибн аль-Хайсамом, суммировавшим четвёртые степени в Каире около 1020 года, и Мадхавой, разложившим арктангенс около 1400-го, анализ развивался — просто не в Европе.