Ньютон в чумные годы: метод флюксий

Обстоятельства

Великая лондонская чума 1665 года доходит до Кембриджа; университет закрывают. Ньютон, только что получивший степень бакалавра, уезжает в родовое поместье Вулсторп в Линкольншире и проводит там с перерывами около полутора лет.

Честная оговорка сразу. Легенда «всё за один чумной год под яблоней» — красивое упрощение, восходящее к воспоминаниям самого Ньютона, записанным полвека спустя. Уайтсайд, издатель его математических рукописей, показал: работа началась в Кембридже (Ньютон читал ВаллисаДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды. и ДекартаРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. в 1664-м), продолжалась после возвращения и заняла годы. Но октябрьский трактат 1666 года сохранился и датируется точно — к этому моменту исчисление у Ньютона есть.

Биномиальный ряд: как он на самом деле его нашёл

Это самая поучительная история во всей точке, и она отлично работает в классе.

Ньютон читает «Arithmetica infinitorum» Валлиса (1656), где тот вычисляет площади под $y = (1-x^{2})^{n}$ для целых $n$ и интерполирует таблицу на дробные $n$, чтобы добраться до $n = 1/2$ (круг) и получить $\pi$.

Ньютон делает то же самое, но не с площадями, а с самими коэффициентами. Для целого $n$

$$(1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}\, x^{k}.$$

Он выписывает таблицу $C_n^k$ (треугольник ПаскаляБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога.), смотрит на закономерности вдоль строк и спрашивает: что стоит в строке с номером $n = 1/2$?

Формула $C_{n}^{k} = \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}$ имеет смысл при любом $n$ — надо только не останавливаться, потому что числитель никогда не обратится в нуль. Подставим $n = 1/2$:

$$C_{1/2}^{0}=1,\quad C_{1/2}^{1}=\frac12,\quad C_{1/2}^{2}=\frac{\frac12\cdot(-\frac12)}{2}=-\frac18,\quad C_{1/2}^{3}=\frac{\frac12(-\frac12)(-\frac32)}{6}=\frac{1}{16},\ \ldots$$

$$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{16} - \frac{5x^{4}}{128} + \cdots$$

Ряд не обрывается — он бесконечен. В этом весь скачок: биномиальная формула, конечная для натуральных показателей, при дробных превращается в бесконечный ряд.

Ньютон проверил догадку прямым умножением ряда самого на себя (получилось $1+x$) и делением. Общая формула:

$$(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} C_{\alpha}^{k}\,x^{k}, \qquad C_{\alpha}^{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}, \qquad |x|<1.$$

Условие $|x|<1$ Ньютон не формулировал: вопрос сходимости ещё не поставлен и будет поставлен только АбелемНильс Хенрик Абельнорвежский математик · 1802–1829Доказал, что формулы для уравнения пятой степени не существует, и потребовал от математики строгости, которой она тогда не знала, — за шесть лет работы и двадцать шесть лет жизни. в 1826-м, ровно на примере этого ряда.

Зачем это нужно. Разложив $\sqrt{1-x^{2}}$ и почленно проинтегрировав, Ньютон получает площадь под окружностью, а с ней — $\pi$. Он вычислил 15 знаков и потом писал, что стыдится признаться, сколько знаков насчитал, не имея в те дни других занятий. Логарифм он довёл до 55 знаков.

Здесь же — обращение рядов: имея $y$ как ряд по $x$, найти $x$ как ряд по $y$. Из ряда для $\ln(1+x)$ Ньютон получает ряд для $e^{x}-1$.

Флюксии

Ньютон мыслит физически. Величина $x$ течёт во времени — это флюента; скорость её изменения $\dot x$ — флюксия. Бесконечно малый промежуток времени обозначается $o$, так что за него флюента получает приращение $\dot x\,o$ («момент»).

Пример. Пусть $y = x^{n}$. Тогда

$$y + \dot y o = (x + \dot x o)^{n} = x^{n} + n x^{n-1}\dot x o + C_n^2 x^{n-2}(\dot x o)^{2} + \cdots$$

Вычитаем $y = x^n$:

$$\dot y o = n x^{n-1}\dot x o + (\text{члены с } o^{2}\text{ и выше}).$$

Делим на $o$:

$$\dot y = n x^{n-1}\dot x + (\text{члены с } o).$$

Отбрасываем члены с $o$:

$$\frac{\dot y}{\dot x} = n x^{n-1}.$$

Тот же логический разрыв, что у ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей.: сначала на $o$ делят (значит, $o \ne 0$), потом его отбрасывают (значит, $o = 0$). Именно за это ухватится Беркли, и ответ найдётся только через 300 лет (Робинсон).

Ньютон это чувствовал и всю жизнь искал формулировку получше. В «Principia» (1687) он вводит «первые и последние отношения» (prime and ultimate ratios), лемма I книги I:

Величины, а также отношения величин, которые в течение любого конечного времени постоянно стремятся к равенству и до конца этого времени приблизятся друг к другу ближе, чем на любую заданную разность, становятся в пределе равными.

Это уже почти определение предела — не хватает только кванторов.

Три трактата, ни один не напечатан вовремя

Трактат	Написан	Напечатан
«De analysi per aequationes numero terminorum infinitas»	1669	1711
«Methodus fluxionum et serierum infinitarum»	1671	1736 (посмертно, по-английски)
«De quadratura curvarum»	1691–93	1704 (приложение к «Оптике»)

Сорок два года между написанием и публикацией первого. Причины называют разные: страх полемики (Ньютон обжёгся на споре о цвете с Гуком), перфекционизм, занятость алхимией и богословием, отсутствие издательского рынка. Результат один: когда ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». опубликует своё исчисление в 1684 году, у Ньютона в печати не будет ничего. Это и станет пороховым погребом спора о приоритете.

Отдельная странность: «Principia», написанные человеком, владеющим анализом, изложены геометрически, в стиле АполлонияАполлоний Пергскийгреческий математик и астроном · около 262–190 до н. э.Написал восемь книг о сечениях конуса, придумал слова «эллипс», «парабола» и «гипербола» — и довёл дело до теории нормалей, то есть до порога дифференциальной геометрии, за восемнадцать веков до неё.. Ньютон объяснял это желанием быть понятым; современные историки считают, что и результаты он получал в основном геометрически, а флюксии применял выборочно.

Следующая точка: Париж — у знака интеграла есть день рождения.