Альгамбра: орнамент как перебор возможностей

Дворец, где нет ни одного изображения

Альгамбра строилась при султанах Юсуфе I и Мухаммаде V — примерно с 1333 по 1391 год. Это последнее мусульманское государство на Пиренейском полуострове; через сто лет Гранада падёт, и ключи от города передадут Фердинанду и Изабелле.

В убранстве дворца нет ни людей, ни животных. Изобразительная традиция ислама этого не поощряла, и весь запас выразительных средств пришёлся на два: каллиграфию и геометрию. Стены, полы, потолки, деревянные ставни — всё покрыто узором, который повторяется.

Именно «повторяется» здесь ключевое слово.

Что такое повторяющийся узор

Скажем точно. Узор на стене называют периодическим, если существуют два непараллельных сдвига, при которых узор совмещается сам с собой. Сдвинули на вектор $\mathbf{a}$ — картинка та же; сдвинули на $\mathbf{b}$ — та же; значит, и на любую комбинацию $m\mathbf{a} + n\mathbf{b}$ тоже.

Кроме сдвигов узор может выдерживать и другие движения: повороты вокруг некоторых точек, отражения в некоторых прямых, скользящие отражения (отражение плюс сдвиг вдоль оси). Все движения, сохраняющие узор, вместе образуют то, что математик назовёт группойнабор преобразований, замкнутый относительно последовательного выполнения и обращения.

И вот главное. Тип узора определяется не тем, что на нём нарисовано, а тем, какие движения его сохраняют. Звёзды, плетёнка, растительный завиток, надпись — разные картинки могут иметь один и тот же тип; и наоборот, две почти неотличимые на глаз плетёнки могут оказаться разных типов.

Таких типов ровно семнадцать. Это теорема, и доказана она будет в Петербурге в 1891 году — через пять веков после того, как гранадские мастера закончили работу.

Мастер не может изобрести восемнадцатый

Отсюда следует вещь, которую стоит сказать вслух, потому что она задевает интуицию.

Ремесленник, придумывающий новый узор, свободен в рисунке совершенно: он может взять любые линии, любые цвета, любую сложность. Но в выборе типа он не свободен вовсе — вариантов семнадцать, и восемнадцатого не существует. Не «пока не найден», а не существует: доказано.

Это редкий случай, когда математическая теорема прямо ограничивает свободу художника. Причём ограничивает не запретом извне, а устройством плоскости.

Заодно там же сидит и запрет на пятёрку: среди семнадцати типов есть повороты на $180^\circ$, $120^\circ$, $90^\circ$ и $60^\circ$ — и ни одного на $72^\circ$. Пятилучевая звезда в периодическом орнаменте нарисована быть может, но центром симметрии всего узора она не будет никогда.

Сколько типов в Альгамбре

Здесь начинается спор, который стоит рассказать честно, потому что расхожая версия неверна.

В популярных книгах и на экскурсиях часто говорят: «в Альгамбре представлены все семнадцать групп». Это красиво и почти наверняка неправда.

Первой считать взялась швейцарский математик Эдит Мюллер — её диссертация 1944 года посвящена именно орнаментам Альгамбры. Она насчитала одиннадцать типов (по другому счёту двенадцать). Позднее Бранко Грюнбаум, один из главных специалистов по замощениям XX века, разбирал вопрос заново и говорил о тринадцати. Разные авторы получают разные числа, и причина не в невнимательности: результат зависит от того, что считать узором.

Учитывать ли цвет? Если два одинаковых по форме элемента раскрашены по-разному, узор может потерять часть симметрий. Считать ли бордюр, у которого сдвиг только в одном направлении? Брать ли фрагмент или всю стену — у края узор обрывается, и часть движений пропадает. Включать ли позднейшие реставрации XIX века, когда Альгамбру активно «улучшали»?

Твёрдо можно сказать одно: гранадские мастера освоили большýю часть возможного списка, работая без всякой теории, одним перебором и вкусом. Это само по себе поразительно. Приписывать им сверх этого знание, которого у них не было, — плохая услуга.

Один посетитель

В 1936 году в Альгамбру приехал сорокалетний голландский график. Он провёл там несколько дней с женой, зарисовывая узоры в блокнот — по его собственным словам, это была самая богатая находка его жизни.

Звали его Мауриц Корнелис ЭшерМауриц Корнелис Эшернидерландский художник-график · 1898–1972Художник, которому не хватило математики: он самостоятельно переоткрыл семнадцать групп симметрии, а потом получил от Коксетера картинку и по ней разобрался, как рисовать бесконечность в круге., и чем это кончится, мы увидим через восемнадцать лет.

Следующая точка: Исфахан — где на стене святилища выложат узор, у которого периода нет вовсе.